Question

【題目】已知二次函數(是常數，且)滿足條件：，且方程有兩個相等實根．

(1)求的解析式；

(2)是否存在實數，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x2＋x；（2）m＝－2，n＝0.

【解析】

(1)方程　f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

亦即ax2＋(b－1)x＝0，

由方程有兩個相等實根，得Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，

∴b＝1.①

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0②

由①、②得，a＝－，b＝1，

故　f(x)＝－x2＋x.

(2)假設存在實數m、n滿足條件，由(1)知，

　f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，

則2n≤，即n≤.

∵　f(x)＝－(x－1)2＋的對稱軸為x＝1，

∴當n≤時，　f(x)在[m，n]上為增函數．

于是有即

∴m<n≤，∴.

故存在實數m＝－2，n＝0，

使f(x)的定義域為[m，n]，值域為[2m,2n]．