【題目】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)由離心率可得關(guān)系,再將點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得間關(guān)系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分線總垂直于軸,可判斷直線的斜率互為相反數(shù),由兩直線都過(guò)點(diǎn),由點(diǎn)斜式可寫(xiě)出直線方程.一一與橢圓方程聯(lián)立,消去的值,可得一元二次方程,又點(diǎn)滿足條件,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),用表示.再由斜率公式可得直線的斜率為定值.
試題解析:
(Ⅰ) 因?yàn)闄E圓的離心率為, 且過(guò)點(diǎn),
所以, .
因?yàn)?/span>,
解得, ,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)法1:因?yàn)?/span>的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)
稱. 設(shè)直線的斜率為, 則直線的斜率為.
所以直線的方程為,直線的方程為.
設(shè)點(diǎn), ,
由消去,得. ①
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上, 所以是方程①的一個(gè)根, 則,
所以.
同理.
所以.
又.
所以直線的斜率為.
所以直線的斜率為定值,該值為.
法2:設(shè)點(diǎn),
則直線的斜率, 直線的斜率.
因?yàn)?/span>的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱.
所以, 即, ①
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,
所以,②
. ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化簡(jiǎn)得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②,得.
所以直線的斜率為為定值.
法3:設(shè)直線的方程為,點(diǎn),
則,
直線的斜率, 直線的斜率.
因?yàn)?/span>的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱.
所以, 即,
化簡(jiǎn)得.
把代入上式, 并化簡(jiǎn)得
. (*)
由消去得, (**)
則,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一個(gè)根為,不合題意.
若時(shí), 合題意.
所以直線的斜率為定值,該值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>A,B={x|x<a}.
(1)求集合A;
(2)若AB,求a的取值范圍;
(3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求U A及A∩(U B).
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【題目】已知橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率,直線的方程為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的任一直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))與橢圓交于兩點(diǎn),,設(shè)直線與相交于點(diǎn),記的斜率分別為,問(wèn):是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,求a+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;
(2)若A∪B=B,求a的值.
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【題目】選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測(cè)出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問(wèn)題.該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲,乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本,測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)圖1,估計(jì)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù);
(Ⅱ)若將頻率視為概率,某個(gè)月內(nèi)甲,乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則甲,乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?
(Ⅲ)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并回答是否有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲,乙兩條流水線的選擇有關(guān)”?
甲生產(chǎn)線 | 乙生產(chǎn)線 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計(jì) |
附:(其中為樣本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為矩形,D為的中點(diǎn),AC⊥平面BCC1B1.
(Ⅰ)證明:AB//平面CDB1;
(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求B1D與平面ABB1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF.則下列結(jié)論不正確的是( )
A. CD∥平面PAF
B. DF⊥平面PAF
C. CF∥平面PAB
D. CF⊥平面PAD
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