(2006•海淀區(qū)一模)已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
,
①求點(diǎn)P到平面ABCD的距離;
②求二面角P-AB-C的大。
分析:(Ⅰ)連接BD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),得出DE⊥BC,DE⊥AD再由DP⊥AD,得出AD⊥平面PDE.
(Ⅱ)DE⊥AD,PD⊥AD,∠PDE為二面角P-AD-C的平面角.∠PDE=60°.過P在平面PDE內(nèi)做PK⊥DE于K,易證AD⊥PK.PK⊥面ABCD.PK為所求.
②先得出K為△BCD重心.連接BK,由△BCD為正三角形,得出BK為BP在面ABCD內(nèi)的射影.從而PB⊥AB,所以∠PBK為二面角P-AB-C的平面角.RT△PKB中求解.
解答:解:(Ⅰ)連接BD,底面ABCD是菱形,∠BDC=60°,∴△BCD是正三角形.
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),∴DE⊥BC,∵AD∥BC,∴DE⊥AD.∵DP⊥AD,DP∩AD=D,∴AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)①∵DE⊥AD,PD⊥AD,∴∠PDE為二面角P-AD-C的平面角.,∴∠PDE=60°.
過P在平面PDE內(nèi)做PK⊥DE于K,易證AD⊥PK.∴PK⊥面ABCD.∵PD=
8
3
3
,∴DK=
4
3
3
,PK=4
即點(diǎn)P到平面ABCD的距離是4.
②AB=4,∴DE=2
3
,∴DK=
2
3
DE
,∴K為△BCD重心.
連接BK,∵△BCD為正三角形,所以BK為BP在面ABCD內(nèi)的射影.∴PB⊥AB,∠PBK為二面角P-AB-C的平面角.
在RT△PKB中,tan∠PKB=
PK
KB
=
PK
DK
=
3
,∠PKB=
π
3
,二面角P-AB-C的大小為
π
3
點(diǎn)評:本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,空間角大小求解,考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力.
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