Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F為CD中點．
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為原點，

AC

、

AD

、

AB

分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅱ）由F為CD中點，知F（a，a，0），

BF

=(a，a，-a)．由此利用向量法能求出直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）以A為原點，

AC

、

AD

、

AB

分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．…（1分）
設AB=a，因為△ACD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，
所以B（0，0，a），C（2a，0，0），D（0，2a，0），E（0，2a，2a），…（2分）
所以

BC

=(2a，0，-a)，

BE

=(0，2a，a)，

CD

=(-2a，2a，0)，

DE

=(0，0，2a)．…分
設平面BCE的法向量為

n1

=（x，y，z），
則由

n1 • BC =0 n1 • BE =0

，得

2ax-az=0 2ay+az=0

，
令z=2，則

n1

=（1，-1，2）．…（5分）
設平面CDE的法向量為

n2

=（x，y，z），
則由

n2 • CD =0 n2 • DE =0

，得

-2ax+2ay=0 2az=0

，
令x=1，則

n2

=（1，1，0）．…（7分）
所以

n1

•

n2

=0，所以平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（Ⅱ）因為F為CD中點，所以F（a，a，0），

BF

=(a，a，-a)．
則cos＜

BF

，

n1

＞=

BF • n1

| BF |•| n1 |

=

-2a

6 × 3 a

=-

2

3

．…（11分）
設直線BF和平面BCE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

BF

，

n1

|=|

a-a-2a

6 × 3 a

|=

2

3

．
所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為

2

3

．…（15分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．