Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（I）求證：AF∥平面BCE；
（II）求二面角D-BC-E的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取CE的中點(diǎn)G，由三角形的中位線性質(zhì)證明四邊形GFAB為平行四邊形，得到AF∥BG，從而證明AF∥平面BCE；
（II）過(guò)E作EM⊥面BCD，垂足為M，過(guò)E作EN⊥BC，則∠ENM為二面角D-BC-E的平面角，由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM=

3

a，在△BCE中，

1

2

BC×EN=

1

2

CE×BG，可得EN=

2 30 a

5

，從而可求二面角D-BC-E的正弦值

解答：（I）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）過(guò)E作EM⊥面BCD，垂足為M，過(guò)E作EN⊥BC，則∠ENM為二面角D-BC-E的平面角
設(shè)AB=a，則AD=DE=2a，所以BC=BD=

5

a，AF=2a，CE=2

2

a
由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD
∵BG⊥DE，CD∩DE=D，∴BG⊥面CDE
由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM=

3

a
在△BCE中，

1

2

BC×EN=

1

2

CE×BG，∴EN=

2 30 a

5

設(shè)二面角D-BC-E的平面角θ，則sinθ=

EM

EN

=

10

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．