Question

已知圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求k的值；
（2）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程．

Answer 1

分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，
（1）由直線過(guò)原點(diǎn)且斜率為k，設(shè)出直線的方程為y=kx，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線的距離d，由已知|AB|的長(zhǎng)，以及圓的半徑r，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心C到直線的距離d，可列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)切線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=kx，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到切線l的距離d，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離d=r，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可確定出此時(shí)切線l的方程；②當(dāng)切線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線l的方程為x+y-a=0，根據(jù)d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出此時(shí)切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線l的方程．

解答：解：由圓的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=

2

，
（1）設(shè)直線的方程為y=kx，即kx-y=0，
∵r=

2

，|AB|=2，
∴圓心C到直線的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=1，又d=

|-k-2|

k2+1

，
∴

|-k-2|

k2+1

=1，即（k+2）²=k²+1，
解得：k=-

3

4

；
（2）分兩種情況考慮：
①若切線l過(guò)原點(diǎn)，設(shè)l方程為y=kx，即kx-y=0，
則由C（-1，2）到l的距離d=

|-k-2|

k2+1

=r=

2

，即（k+2）²=2k²+2，
解得：k=2±

6

，
∴此時(shí)切線l的方程為y=（2±

6

）x；
②若切線l不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)l的方程為x+y-a=0，
則由C（-1，2）到l的距離d=

|-1+2-a|

2

=r=

2

，即|a-1|=2，
可得a-1=2或a-1=-2，解得：a=3或a=-1，
∴此時(shí)切線方程為x+y-3=0或x+y+1=0，
綜上，切線l的方程為y=（2±

6

）x或x+y-3=0或x+y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及直線的截距式方程，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質(zhì)是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．