Question

（2012•九江一模）設(shè)點(diǎn)E、F分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF是正三角形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)定點(diǎn)D（-

3

，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿足

DP

=2

QD

，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程，求得|AB|=

2b2

a

，|EF|=2c，根據(jù)△ABF是正三角形，可得

3

2

|AB|=|EF|，從而可求橢圓的離心率；
（2）由（1）知可得橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及

DP

=2

QD

確定P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出面積，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±

b2

a

，所以|AB|=

2b2

a

，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，∴

3

2

|AB|=|EF|
∴

3

2

×

2b2

a

=2c
∵e=

c

a

，b²=a²-c²，
∴

3

e²+2e-

3

=0
∴e=

3

3

或e=-

3

（舍去）
故所求橢圓的離心率為e=

3

3

（2）由（1）知，a²=3c²，b²=2c²，∴橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，①
顯然，直線l的斜率不為0
若直線l與x軸垂直，此時(shí)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，

DP

=

QD

，不合題意；
因此，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

）②，
將②代入①中整理得（3k²+2）x²+6

3

k²x+9k²-6c²=0
因?yàn)橹本�l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，所以△=24（3k²c²-3k²+2c²）＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6 3 k2

3k2+2

④，x₁x₂=

9k2-6c2

3k2+2

⑤
由

DP

=2

QD

得（x₁+

3

，y₁）=2（-

3

-x₂，-y₂），∴

x1+ 3 =-2(x2+ 3 ) y1=-2y2

⑥
由④⑥得x1=

-3 3 k2+6 3

3k2+2

，x2=

-3 3 k2-6 3

3k2+2

⑦
∴S_△OPQ=

3

2

|y₁-y₂|=

3

2

|x₁-x₂|=18×

|k|

3k2+2

=18×

1

3|k|+ 2 |k|

≤

3 6

2

當(dāng)且僅當(dāng)3|k|=

2

|k|

，即k²=

2

3

時(shí)，等號(hào)成立
∴k²=

2

3

時(shí)，S_△OPQ取得最大值
由⑦求得x₁=

3

，x₂=-2

3

，代入⑤，求得c²=5，滿足③
故所求橢圓的方程為2x²+3y²=30，即

x2

15

+

y2

10

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解．