Question

已知函數(shù)y=

ax2+2ax+1

的定義域?yàn)镽，解關(guān)于x的不等式x²-x-a²+a＞0．

Answer 1

分析：由條件可得0≤a≤1，原不等式可化為（x-a）[x-（1-a）]＞0，分0≤a＜

1

2

、a=

1

2

、

1

2

＜a≤1三種情況，分別求出不等式的解集．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=

ax2+2ax+1

的定義域?yàn)镽，所以ax²+2ax+1≥0恒成立．（*）…（2分）
當(dāng)a=0時(shí)，1≥0恒成立，滿足題意，…（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，為滿足（*）必有a＞0且△=4a²-4a≤0，解得0＜a≤1，
綜上可知：a的取值范圍是0≤a≤1．…（6分）
原不等式可化為（x-a）[x-（1-a）]＞0，
當(dāng)0≤a＜

1

2

時(shí)，不等式的解為：x＜a，或x＞1-a．…（8分）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式的解為：x≠

1

2

．…（9分）
當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，不等式的解為：x＜1-a，或x＞a．…（11分）
綜上，當(dāng)0≤a＜

1

2

時(shí)，不等式的解集為：{x|x＜a，或x＞1-a}；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式的解集為：{x|x≠

1

2

}；
當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，不等式的解集為：{x|x＜1-a或x＞a }．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元一次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．