Question

設函數(shù)f(x)=ax-

x2-1

，
（1）當a=2時，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）直接把a=2代入，在把所求不等式轉(zhuǎn)化為2(x-1)≤

x2-1

，最后分兩種情況分別求解即可；
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，對其函數(shù)值作差，整理后把問題轉(zhuǎn)化為a＞

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立），進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大最小值問題即可．

解答：解：（1）a=2時，f（x）≥f（1）可化為：2(x-1)≤

x2-1

，等價于：

x-1≥0 4(x-1)2≤x2-1

①或   

x-1＜0 x2-1≥0

②
解①得 1≤x≤

5

3

，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集為  {x|1≤x≤

5

3

或x≤-1}．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，則

f(x1)-f(x2)=(ax1- x12-1 )-(ax2- x22-1 )   =a(x1-x2)-( x12-1 - x22-1 )   =a(x1-x2)- x12-x22 x12-1 + x22-1   =(x1-x2)(a- x1+x2 x12-1 + x22-1 )

要使函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，需且只需：a＞

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立）．
因此，只要求出

x1+x2

x12-1 + x22-1

在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
為了探求這個代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此時

x1+x2

x12-1 + x22-1

→+∞；
若考慮x₁＜x₂→+∞，則不難看出，此時

x1+x2

x12-1 + x22-1

→1，至此我們可以看出：要使得函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，只需a≤1．
事實上，當a≤1時，由于x1+x2＞

x12-1

+

x22-1

＞0恒成立，
所以，

x1+x2

x12-1 + x22-1

＞1．所以，在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減．
當a＞1時，由（1）可以看出：特例a=2的情況下，存在f(1)=f(

5

3

)．
由此可以猜想：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
為了說明這一點，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
簡便起見，不妨取x₁=1，此時，可求得x2=

a2+1

a2-1

＞1，也即：f(1)=f(

a2+1

a2-1

)=a，所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
另解：f′(x)=a-

x

x2-1

，對x∈[1，+∞），易知：
當x→1時，

x

x2-1

→+∞；當x→+∞時，

x

x2-1

→1；
所以當x∈[1，+∞）時，

x

x2-1

＞1，
從而只須a≤1，必有f'（x）＜0，函數(shù)在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題主要考察一元二次不等式的應用以及恒成立問題．第二問難度較大，建議程度不太好的學生只研究第一問即可．