【題目】已知橢圓,且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為,最小距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)通過橢圓的幾何意義得到橢圓的方程;(2)先考慮直線的特殊情況,和軸垂直,和軸平行,通過這兩種情況得到最終結(jié)果再證明一般情況. 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn),轉(zhuǎn)化為,通過韋達(dá)定理解決即可。
(1)橢圓方程為.
(2)當(dāng)與軸平行時(shí),以線段為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與軸平行時(shí),以線段為直徑的圓的方程為.
故若存在定點(diǎn),則的坐標(biāo)只可能為.
下面證明為所求:
若直線的斜率不存在,上述己經(jīng)證明.
若直線的斜率存在,設(shè)直線, ,
由得,
,
,
,
.
∴,即以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列滿足,.
(1)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)若對任意恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型,并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間(x個(gè)月)和市場占有率(y%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 0.02 | 0.05 | 0.1 | 0.15 | 0.18 |
(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)根據(jù)上述回歸方程,分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢,并預(yù)測自上市起經(jīng)過多少個(gè)月,該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0.5%(精確到月).
附: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.若在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“g(x)≥ ”發(fā)生的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分,滿分均為60分.
整理評分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以為組距分成組:,,,,,,得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:
B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對A餐廳評分低于30的人數(shù);
(Ⅱ)從對B餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率;
(Ⅲ)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是橢圓:上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡記為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)過的直線交曲線于不同的,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知,,求的值.
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