試題分析:(1)在R t △BDC中,OD⊥BC, 由射影定理,得:OD
2=OB•OC; 則OB=OD
2÷OC=1;∴B(-1,0); ∴B(-1,0),C(4,0),E(0,4); 設(shè)拋物線的解析式為:
y=a(x+1)(x-4)(a≠0),則有: a(0+1)(0-4)=4,a=-1;∴y=-(x+1)(x-4)=-x
2+3x+4;
(2)因為A(-2,0),D(0,2); 所以直線AD:y=x+2; 聯(lián)立拋物線的解析式可求得F
(1-
,3-
),G(1+
,3+
); 設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x+2)(1-
<x<
1+
),則Q(x,-x
2+3x+4); ∴PQ=-x
2+3x+4-x-2=-x
2+2x+2; 易知M(
,
)。 若
以P、Q、M為頂點的三角形與△AOD相似,則△PQM為等腰直角三角形; ①以M為直
角頂點,PQ為斜邊,則P(2-
,4-
); ②以Q為直角頂點,PM為斜邊;
P(
,
)故存在符合條件的P點,且P點坐標(biāo)為(2-
,4-
)
或(
,
);(3)易知N(
,
),M(
,
); 設(shè)P點
坐標(biāo)為(m,m+2), 則Q(m,-m
2+3m+4);(1-
<m<1+
) ∴PQ=-m
2+2m+2,
NM=
; ①若四邊形PMNQ是菱形,則首先四邊形PMNQ是平行四邊形,有: MN=PQ,
即:-m2+2m+2=
, 解得m=
,m=
(舍去);當(dāng)m=
時,P(
,
),Q
(
,
) 此時PM≠MN,故四邊形PMNQ不可能是菱形; ②由于當(dāng)NQ∥PM時,
四邊形PMNQ是平行四邊形,所以若四邊形PMNQ是梯形,只有一種情況:PQ∥MN,此
時P點坐標(biāo)為(
,
).
∴四邊形PMNQ可以是等腰梯形,且P點坐標(biāo)為(
,
).
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,考查的知識點有:直角三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的確定,
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性質(zhì)等,同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想;要特別
注意的是在判定梯形的過程中,不要遺漏證明另一組對邊不平行的條件.