Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱是AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四種說(shuō)法：

（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形MENF的面積最小；

（3）四邊形MENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；

（4）四棱錐C′﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，以上說(shuō)法中正確的為（　）

A. （2）（3） B. （1）（3）（4） C. （1）（2）（4） D. （1）（2）

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′；（2）四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可；（3）判斷周長(zhǎng)的變化情況；（4）求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

（1）連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以正確；

（2）連結(jié)MN，因?yàn)?/span>EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以正確；

（3）因?yàn)?/span>EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變�。�當(dāng)x∈[，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．所以函數(shù)L＝f（x）不單調(diào)．所以錯(cuò)誤；

（4）連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角�?/span>C′EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數(shù)，所以正確．

故選：C．