【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)當a=1且k∈Z時,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+xlnx,
∴f′(x)=a+1+lnx,又函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,+∞)上為增函數(shù),
∴當x≥e時,a+1+lnx≥0恒成立,
∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,即a的取值范圍為[﹣2,+∞);
(2)解:當x>1時,x﹣1>0,故不等式k(x﹣1)<f(x)k< ,
即 對任意x>1恒成立.
令 則 ,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
則 在(1,+∞)上單增.
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即當1<x<x0時,h(x)<0,即g′(x)<0,
當x>x0時,h(x)>0,即g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上單減,在(x0,+∞)上單增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4),
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3.
【解析】(1)易求f′(x)=a+1+lnx,依題意知,當x≥e時,a+1+lnx≥0恒成立,即x≥e時,a≥(﹣1﹣lnx)max , 從而可得a的取值范圍;(2)依題意, 對任意x>1恒成立,令 則 ,再令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),易知h(x)在(1,+∞)上單增,從而可求得g(x)min=x0∈(3,4),而k∈z,從而可得k的最大值.
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【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足,且當時,.
(1)求的值;
(2)證明:為單調(diào)增函數(shù);
(3)若,求在上的最值.
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【題目】甲、乙兩人各自獨立地進行射擊比賽,甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是 和 ,假設每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.
(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標的概率;
(2)求兩人各射擊3次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點.
(1)證明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B為60°,求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
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【題目】已知等差數(shù)列滿足,數(shù)列的前項和為,且滿足.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
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【題目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且a2=b(b+c).
(1)求證:∠A=2∠B;
(2)若a= b,判斷△ABC的形狀.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a3=5,S15=225.數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,b3=a2+a3 , b2b5=128(其中n=1,2,3,…). (Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)記cn=anbn , 求數(shù)列cn前n項和Tn .
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【題目】已知函數(shù) ,在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B,C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(Ⅰ)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)若x∈[0,1],求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅲ)若 ,且 ,求f(x0+1)的值.
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