【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上， ,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.

【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.（2）或.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上, 以及,計(jì)算出橢圓的方程和離心率; （2）分別討論直線與軸垂直時(shí)和直線與軸不垂直時(shí)兩類情況, 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),聯(lián)立直線和橢圓方程,根據(jù)三角形的面積,化簡(jiǎn)成關(guān)于k的方程,解出k值,進(jìn)而求得直線的方程.

試題解析:解：（1）由題意得，解得，

故所求橢圓的方程為，離心率為.

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， ，此時(shí)不符合題意，舍去；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由 ，消去得： ，

設(shè)，則，

所以

,

原點(diǎn)到直線的距離為，

所以三角形的面積 ，

由，得，故，

所以直線的方程為或.

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（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

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