Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1= ，
（1）試在棱CC1（不包含端點(diǎn)C，C1）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1；
（2）在（1）的條件下，求AE和BC1所成角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，

從而B1E⊥平面ABE且BE平面ABE，故BE⊥B1E．

不妨設(shè) CE=x，則C1E=2﹣x，

∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2﹣x，

∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴ ．

在Rt△BEB1中有1+x2﹣x+x2﹣5x+7=4，

從而x=1或x=2（當(dāng)x=2時(shí)E與C1重合不滿足題意）．

故E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，EA⊥EB1

（2）解：取BC中點(diǎn)D，則DE∥BC1，連接AD，

所以∠AED或其補(bǔ)角為異面直線AE和BC1所成角所成的角．

∵ ，

∴cos∠AED= = ，

∴∠AED=60°．

【解析】（1）由EA⊥EB1 ， AB⊥EB1 ， AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，從而B1E⊥平面ABE且BE平面ABE，故BE⊥B1E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．（2）取BC中點(diǎn)D，則DE∥BC1 ， 連接AD，所以∠AED或其補(bǔ)角為異面直線AE和BC1所成角所成的角． 利用余弦定理即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題．