【題目】設(shè)函數(shù)
(1)若函數(shù)在上遞增,在上遞減,求實數(shù)的值.
(2)討論在上的單調(diào)性;
(3)若方程有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍,并證明.
【答案】(1).(2)答案見解析.(3),證明見解析
【解析】
(1) 通過求導(dǎo)來判斷極值點,以此求出a的值;
(2)求導(dǎo)后對分類討論,分,,且三種情況,討論函數(shù)的單調(diào)性即可;
(3)構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)研究的大致圖象,數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍,要證明,即證,即證,做差轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可證明.
(1)由于函數(shù)在上遞增,在上遞減,
由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點,無極小值點,所以,
∵,
故,
此時滿足是極大值點,所以;
(2)∵,
∴,
①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.
②當(dāng),即或時,,
∴在上單調(diào)遞減.
③當(dāng)且時,由 得.
令得;
令得.
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時,在上遞增;
當(dāng)或時,在上遞減;
當(dāng)且時,在上遞增,在上遞減.
(3)令,
,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
故在處取得最小值為,
又當(dāng),
所以函數(shù)大致圖象為:
由圖象知:.
不妨設(shè),則有,
要證,只需證即可,
令,
則
在上單調(diào)遞增,
故
即,
,
.
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【題目】將 顆珠子分成 堆.若通過每次從其中 堆中各取走一顆珠子,而最后取完,則稱這樣的分法為“和諧的”.試給出和諧分法的充分必要條件,并加以證明.
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【題目】凸多面體的每個面均為三角形,每條棱上均標(biāo)記字母之一,且每個面的三條邊上恰各有一個。對每一個面,當(dāng)旋轉(zhuǎn)多面體使該面在我們眼前時,按照字母順序觀察其三邊,若是逆時針方向,則稱其為正面;否則,稱其為反面。證明:正面與反面的數(shù)目之差能被4整除。
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【題目】已知焦點在軸上的拋物線過點,橢圓的兩個焦點分別為 ,其中 與的焦點重合,過與長軸垂直的直線交橢圓于兩點且,曲線是以原點為圓心以 為半徑的圓.
(1)求與及的方程;
(2)若動直線與圓相切,且與交與兩點,三角形 的面積為,求的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的普通方程為,曲線C2參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求C1的參數(shù)方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知P是C2上參數(shù)對應(yīng)的點,Q為C1上的點,求PQ中點M到直線的距離取得最大值時,點Q的直角坐標(biāo).
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【題目】將4個編號為1、2、3、4的小球放人編號為1、2、3、4的盒子中.
(1)恰好有一個空盒,有多少種放法?
(2)每個盒子放一個球,且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同,有多少種放法?
(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球,恰有一個空盒,有多少種放法?
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(2ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示
(1)求A,ω,φ的值;
(2)求圖中a,b的值及函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;
(3)若α∈[0,π],且f(α)=,求α的值.
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【題目】甲、乙二人獨立破譯同一密碼,甲破譯密碼的概率為,乙破譯密碼的概率為.記事件A:甲破譯密碼,事件B:乙破譯密碼.
(1)求甲、乙二人都破譯密碼的概率;
(2)求恰有一人破譯密碼的概率;
(3)小明同學(xué)解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下:
解:“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”所以隨機事件“密碼被破譯”可以表示為所以
請指出小明同學(xué)錯誤的原因?并給出正確解答過程.
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