分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的極小值即可.
解答 解:(1)f′(x)=x(ex-a),
①a≤0時,ex-a>0,
令f′(x)>0,解得:x>0,
令f′(x)<0,解得:x<0,
故f(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增;
②a>1時,令ex=a,解得:x=lna,則lna>0,
令f′(x)>0,解得:x>lna或x<0,
令f′(x)<0,解得:0<x<lna,
故f(x)在(-∞,0)遞增,在(0,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增;
③a=1時,f′(x)≥0,f(x)在R遞增;
④0<a<1時,lna<0,
令f′(x)>0,解得:x>0或x<lna,
令f′(x)<0,解得:lna<x<0,
故f(x)在(-∞,lna)遞增,在(lna,0)遞減,在(0,+∞)遞增;
(2)由(1)a≤0時,a-1≤-1,f(x)極小值=f(0)=-1;
a>1時,a-1>0,f(x)在(a-1,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增,
∴f(x)極小值=f(lna)=alna-a-$\frac{1}{2}$aln2a;
a=1時,f(x)在(a-1,+∞)遞增,無極小值點;
0<a<1時,-1<a-1<0,
f(x)在(a-1,0)遞減,在(0,+∞)遞增,
故f(x)極小值=f(0)=-1.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.
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