【題目】已知圓M：x2+y2+2y﹣7=0和點(diǎn)N（0，1），動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N且與圓M相切，圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)A是曲線E與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B、C在曲線E上，若直線AB、AC的斜率k1 ， k2 ， 滿足k1k2=4，求△ABC面積的最大值．

【答案】
（1）解：圓M：x2+y2+2y﹣7=0的圓心為M（0，﹣1），半徑為

點(diǎn)N（0，1）在圓M內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N且與圓M相切，

所以動(dòng)圓P與圓M內(nèi)切．設(shè)動(dòng)圓P半徑為r，則 ﹣r=|PM|．

因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N，所以r=|PN|， ＞|MN|，

所以曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長軸長為 的橢圓．

由 ，得b2=2﹣1=1，

所以曲線E的方程為


（2）解：直線BC斜率為0時(shí)，不合題意

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC：x=ty+m，

聯(lián)立方程組 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，

又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）

= ．

代入得

又m≠1，化簡得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），

解得m=3，故直線BC過定點(diǎn)（3，0）

由△＞0，解得t2＞4， =

（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號）．

綜上，△ABC面積的最大值為


【解析】（1）利用圓與圓的位置關(guān)系，得出曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長軸長為 的橢圓，即可求曲線E的方程；（2）聯(lián)立方程組 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合k1k2=4，得出直線BC過定點(diǎn)（3，0），表示出面積，即可求△ABC面積的最大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知平面ADC∥平面A1B1C1 ， B為線段AD的中點(diǎn)，△ABC≈△A1B1C1 ， 四邊形ABB1A1為正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1 ， A1C1=A1A，∠C1A1A= ，M為棱A1C1的中點(diǎn)．
（I）若N為線段DC1上的點(diǎn)，且直線MN∥平面ADB1A1 ， 試確定點(diǎn)N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD與平面CC1D所成的銳二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=﹣1的x有四個(gè)，則t的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動(dòng)力人口在不斷減少，”延遲退休“已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

[40，45）

人數(shù)

4

5

8

5

3

年齡

[45，50）

[50，55）

[55，60）

[60，65）

[65，70）

人數(shù)

6

7

3

5

4

經(jīng)調(diào)查年齡在[25，30），[55，60）的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人，進(jìn)行跟蹤調(diào)查．
（Ⅰ）求年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（Ⅱ）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）的實(shí)義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）中心對稱，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．則不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（﹣1，1）
D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】莊子說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，這句話描述的是一個(gè)數(shù)列問題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S∈（ ， ），則輸入的n的值為（ ）

A.7
B.6
C.5
D.4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，﹣1），焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓右焦點(diǎn)到直線x﹣y+2 =0的距離為3 （Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，C，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△BOC面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)P為雙曲線 =1右支上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，則平行四邊形PAOB的面積為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且滿足
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ；
（2）設(shè) ，令 ，求

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案