Question

【題目】如圖，已知平面ADC∥平面A1B1C1 ， B為線段AD的中點(diǎn)，△ABC≈△A1B1C1 ， 四邊形ABB1A1為正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1 ， A1C1=A1A，∠C1A1A= ，M為棱A1C1的中點(diǎn)．
（I）若N為線段DC1上的點(diǎn)，且直線MN∥平面ADB1A1 ， 試確定點(diǎn)N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD與平面CC1D所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結(jié)A1D，直線MN∥平面ADB1A1 ， MN平面A1C′1D，
平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1 ， ∴MN∥A1D，
又M為棱A1C1的中點(diǎn)，∴MN為△A1C1D的中位線，
∴N為DC1的中點(diǎn)．
（Ⅱ）設(shè)A1B1=1，則A1A=1，A1C1=1，因?yàn)锽為AD的中點(diǎn)，所以AD=2，因?yàn)椤鰽BC≈△A1B1C1 ，
所以A1C1=AC，又平面ABC∥平面A1B1C1 ， 平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1 ， 平面ABC∩平面A1AOC1=AO，
∴A1C1∥AC，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，又A1C1=A1A，所以A1ACC1是菱形，又∠C1A1A= ，
A1M= ，∴ ，∴AM⊥A1C1 ， ∴AM⊥AC，∵AD⊥AA1 ， 平面AA1C1C⊥平面ADB1A1 ，
∴AD⊥平面AA1C1C，∴AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AC，AM分別為x，y，z軸，
由題意可得：A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），C1（ ），∴ =（﹣2，1，0）， ，
設(shè)平面CC1D的法向量為： =（x，y，z），則 ，

令z=2 ，可得y=6，x=3，可得 =（3，6，2 ），平面MAD的一個(gè)法向量為： =（0，1，0），
平面MAD與平面CC1D所成的銳二面角的余弦值為：cosθ=|cos |
= = =
【解析】（Ⅰ）連結(jié)A1D，直線MN∥平面ADB1A1 ， 推出MN∥A1D，說明MN為△A1C1D的中位線，得到N為DC1的中點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)A1B1=1，證明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AC，AM分別為x，y，z軸，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．