設(shè)f(x)=
2-x+a
1+x
(a為實(shí)常數(shù)),y=g(x)與y=e-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)若函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù),求a的取值.
(2)當(dāng)a=0時(shí),若關(guān)于x的方程f[g(x)]=
g(x)
m
有兩個(gè)不等實(shí)根,求m的范圍;
(3)當(dāng)|a|<1時(shí),求方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù),并加以證明.
分析:(1)利用奇函數(shù)y(0)=0即可求出;
(2)將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根即可求出;
(3)將方程的實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點(diǎn)問題即可.
解答:解:(1)∵y=g(x)與y=e-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴g(x)=ex
∴y=f(g(x))=
2-ex+a
1+ex
為奇函數(shù),
∴f(g(0))=
2-1+a
1+1
=0
,解得a=-1.
經(jīng)檢驗(yàn)a=-1滿足條件.
(2)當(dāng)a=0時(shí),方程f(g(x))=
g(x)
m
可化為(ex2+(1+m)ex-2m=0.
由題意知:此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
令ex=t,則方程t2+(1+m)t-2m=0有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根.
△=(1+m)2+8m>0
t1+t2=-(1+m)>0
t1t2=-2m>0
,解得m<-5-2
6

(3)方程f(x)=g(x)可化為ex+1=
3+a
1+x

當(dāng)|a|<1時(shí),方程ex+1=
3+a
1+x
由唯一實(shí)數(shù)根.
證明:分別令h(x)=ex+1,u(x)=
3+a
1+x
(x≠-1).
可知函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且h(0)=2.
∵|a|<1,∴3+a>0,
u(x)=
-(3+a)
(1+x)2
<0,
即函數(shù)u(x)分別在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調(diào)遞減.
根據(jù)上面的分析畫出圖象:
由圖象可知:只有當(dāng)x>-1時(shí),函數(shù)u(x)與h(x)只有一個(gè)交點(diǎn).
即方程f(x)=g(x)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及“三個(gè)二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中:
①若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x-1),則6為函數(shù)f(x)的周期;
②若對(duì)于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,則a>
11
3
;
③定義:“若函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R,都存在正常數(shù)M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,則稱函數(shù)f(x)為有界泛函.”由該定義可知,函數(shù)f(x)=x2+1為有界泛函;
④對(duì)于函數(shù)f(x)=
x-1
x+1
,設(shè)f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*且n≥2),令集合M={x|f2009(x)=x,x∈R},則集合M為空集.
正確的個(gè)數(shù)為( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•內(nèi)江一模)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2)且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=(
1
2
x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是
34
,2)
34
,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
2-x-a(x≤0)
f(x-1)(x>0)
,若f(x)=x有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列說法中:
①若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x-1),則6為函數(shù)f(x)的周期;
②若對(duì)于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,則a>
11
3
;
③定義:“若函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R,都存在正常數(shù)M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,則稱函數(shù)f(x)為有界泛函.”由該定義可知,函數(shù)f(x)=x2+1為有界泛函;
④對(duì)于函數(shù)f(x)=
x-1
x+1
,設(shè)f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*且n≥2),令集合M={x|f2009(x)=x,x∈R},則集合M為空集.
正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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