下列說法中:
①若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x-1),則6為函數(shù)f(x)的周期;
②若對于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,則a>
11
3
;
③定義:“若函數(shù)f(x)對于任意x∈R,都存在正常數(shù)M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,則稱函數(shù)f(x)為有界泛函.”由該定義可知,函數(shù)f(x)=x2+1為有界泛函;
④對于函數(shù)f(x)=
x-1
x+1
,設(shè)f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*且n≥2),令集合M={x|f2009(x)=x,x∈R},則集合M為空集.
正確的個數(shù)為( 。
A、1個B、2個C、3個D、4個
分析:依據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷證明,判斷每個命題的正誤.①變形判斷其以6為周期,②分離出a來,利用恒成立求其范圍;③根據(jù)有界函數(shù)的定義進(jìn)行判斷,確定f(x)=x2+1的性質(zhì);④先驗(yàn)證前幾個函數(shù)的表達(dá)式,找出同期再計(jì)算求值.
解答:解:①由題設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x-1),得f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),故周期是6,正確.
②對于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,即a>x+
2
x
對于任意x∈(1,3)恒成立,x+
2
x
≥2
2
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=
2
x
=
2
時成立,又當(dāng)x=1,x+
2
x
=3,x=3,x+
2
x
=
11
3
,故a≥
11
3
故不對.
③若命題成立,則必有M≥|x|+
1
|x|
,x∈R恒成立,這是不可能的,故不對.
④由題設(shè)f2(x)=-
1
x
,f3(x)=
x+1
x-1
,f4(x)=
1
x
,f5(x)=
1-x
x+1
f6(x)=-x,f7(x)=f3(x)=
x+1
x-1
,故從f3(x)開始組成了一個以f3(x)為首項(xiàng),以周期為4重復(fù)出現(xiàn),由2009=3+501*4+2得f2009(x)=f5(x),故
1-x
x+1
=x整理得,x2+2x-1=0,有解,故不對.
綜上,僅有①正確
故應(yīng)選A.
點(diǎn)評:考查同期性,恒成立求參數(shù),利用周期性求值,新定義函數(shù)的正確性驗(yàn)證,本題作為一個選擇題運(yùn)算量太大,且變形技巧性強(qiáng),實(shí)為得分不易之題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中正確的命題代號為
 

①f(x)為奇函數(shù),則f(0)=0;
②定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是單調(diào)增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù);
③a,b,c都是不等于1的正數(shù)且ab≠1,則alogcb=blogca;
④定義在R上的函數(shù)f(x)若f(2)≠f(-2),則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
|x+3|
    x≠-3
1           x=-3
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3個不同實(shí)數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則下列說法中錯誤的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[2a-1,a+4])是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)b=2;
②f(x)表示-2x+2與-2x2+4x+2中的較小者,則函數(shù)f(x)的最大值為1;
③若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=-6;
④已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對任意的x,y∈R都滿足f(x•y)=x•f(y)+y•f(x),則f(x)是奇函數(shù).
其中正確說法的序號是
①③④
①③④
(注:把你認(rèn)為是正確的序號都填上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中:
①函數(shù)f(x)=
x-1
x+1
與g(x)=x的圖象沒有公共點(diǎn);
②若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x-1),則6為函數(shù)f(x)的周期;
③若對于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,則a>
11
3
;
④定義:“若函數(shù)f(x)對于任意x∈R,都存在正常數(shù)M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,則稱函數(shù)f(x)為有界泛函.”由該定義可知,函數(shù)f(x)=x2+1為有界泛函.
則其中正確的個數(shù)為
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•新疆模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
|x-2|
    (x≠2)
1              (x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有三個不同實(shí)數(shù)解,x1,x2,x3,
且x1<x2<x3,則下列說法中正確的是( 。

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