【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，試求方程的根的個數(shù).

【答案】（1）；（2）；（3）當時，根的個數(shù)為0；當時，根的個數(shù)為1；當時，根的個數(shù)為2

【解析】

（1）直接求導得，利用導數(shù)的幾何意義即可求出在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，轉化為對任意，恒成立，構造函數(shù)，，分類討論和的情況，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值和解決恒成立問題，即可求出實數(shù)的取值范圍；

（3）分類討論的取值范圍，由（2）得，當時，方程的根的個數(shù)為0，當時，當時，，得方程的根的個數(shù)為1；當時，根據(jù)零點存在性定理，即可判斷出方程的根的個數(shù)，綜合即可得出結論.

解：（1）∵，則的定義域為，

∴，∴，

∵，則切點為，

∴曲線在處的切線方程是：，

（2）∵對任意，恒成立，

∴對任意，恒成立，

即恒成立，

令，，

則，

①當時，當時，，∴在上單調遞減，

∴，

∴，

②當時，當時，，∴在上單調遞減，

當時，，∴在單調遞增，

∴，

∴，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（3）當時，由（2）得，方程的根的個數(shù)為0，

當時，由（2）得，當時，，

∴方程的根的個數(shù)為1，

當時，，，

，

根據(jù)零點存在性定理，在上至少存在1個零點，

又在上單調遞減，

∴在在上只有1個零點，

，同理，在上只有1個零點，

∴方程的根的個數(shù)為2，

綜上，當時，方程的根的個數(shù)為0；

當 時，方程的根的個數(shù)為1；

當時，方程的根的個數(shù)為2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列（任意項都不為零）的前項和為，首項為，對于任意，滿足.

（1）數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列？若存在，試求的值；若不存在，請說明理由；

（3）設數(shù)列，，若由的前項依次構成的數(shù)列是單調遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】兩個數(shù)列、，當和同時在時取得相同的最大值，我們稱與具有性質，其中.

（1）設的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；同樣地，的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；判別與是否具有性質，請說明理由；

（2）數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，若與具有性質，，則這樣的數(shù)列一共有多少個？請說明理由；

（3）兩個有限項數(shù)列與滿足，，且，是否存在實數(shù)，使得與具有性質，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省2020年高考將實施新的高考改革方案．考生的高考總成績由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語文、數(shù)學、外語三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為，，，，，，，共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．舉例說明：某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬等級．而等級的轉換分區(qū)間為61～70，那么該同學化學學科的轉換分計算方法為：設該同學化學學科的轉換等級分為，，求得．四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?/span>67．為給高一學生合理選科提供依據(jù)，全省對六個選考科目進行測試，某校高一年級2000人，根據(jù)該校高一學生的物理原始成績制成頻率分布直方圖（見右圖）．由頻率分布直方圖，可以認為該校高一學生的物理原始成績服從正態(tài)分布，用這2000名學生的平均物理成績作為的估計值，用這2000名學生的物理成績的方差作為的估計值．

（1）若張明同學在這次考試中的物理原始分為86分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉換后的物理成績（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取100人，記表示這100人中等級成績在區(qū)間內的人數(shù)，求最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點作代表）；

②由①中的數(shù)據(jù)，記該校高一學生的物理原始分高于84分的人數(shù)為，求．

附：若，則，，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個洞(或數(shù)字)，其相對兩面之數(shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產生六個數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設計一個“十進制骰”，使其擲一次能產生0~9這十個數(shù)之一，而且每個數(shù)字產生的可能性一樣.請問：你能設計出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設計方案；若不能，寫出理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進行培訓，分別估計員工受訓的平均時間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)，設函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）對任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了貫徹落實黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅決防范疫情向校園蔓延，切實保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網絡平臺等多種方式實施線上教育教學工作．某教育機構為了了解人們對其數(shù)學網課授課方式的滿意度，從經濟不發(fā)達的A城市和經濟發(fā)達的B城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如下：

若評分不低于80分，則認為該用戶對此教育機構授課方式“認可”，否則認為該用戶對此教育機構授課方式“不認可”．

（Ⅰ）請根據(jù)此樣本完成下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認為城市經濟狀況與該市的用戶認可該教育機構授課方式有關？

認可

不認可

合計

A城市

B城市

合計

（Ⅱ）在樣本A，B兩個城市對此教育機構授課方式“認可”的用戶中按分層抽樣的方法抽取6人，若在此6人中任選2人參加數(shù)學競賽，求A城市中至少有1人參加的概率．

參考公式：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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