Question

【題目】已知函數(shù)若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是____．

Answer 1

【答案】.

【解析】分析: 根據(jù)函數(shù)f（x）圖象判斷a，b，c關(guān)系即范圍，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最大值．

詳解: 作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵存在實數(shù)a＜b＜c，滿足f（a）=f（b）=f（c），

∴a+b=﹣6，

∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，

由函數(shù)圖象可知：＜c＜e2，

設(shè)g（c）=（c﹣6）lnc，則=lnc+1﹣，

顯然在（，e2]上單調(diào)遞增，

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一個零點，不妨設(shè)為c0，

在g（c）在（，c0）上單調(diào)遞減，在（c0，e2]上單調(diào)遞增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值為g（e2）=2e2﹣12．

故答案為：2e2﹣12

點睛: （1）本題有三個關(guān)鍵點,其一是能夠很熟練準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖像；其二是從圖像里能發(fā)現(xiàn)a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能夠想到構(gòu)造函數(shù)g（c）=（c﹣6）lnc，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.（2）本題要求函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握的比較好，屬于中檔題.