【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點.

(1)求證:PA∥平面EDB;
(2)求銳二面角C﹣PB﹣D的大。

【答案】
(1)解法一:如圖,以D為坐標(biāo)原點,分別以 所在的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

則A(2,0,0),P(0,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,1,1).

法一:

設(shè) ,即(2,0,﹣2)=λ(2,2,0)+μ(0,1,1).

解得λ=1,μ=﹣2.

所以

又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.

法二:取BD的中點G,則G(1,1,0). ,

所以 ,所以PA∥EG.

又PA平面EDB,EG平面EDB,

所以PA∥平面EDB.

法三:

設(shè) =(x,y,z)為平面EDB的一個法向量,

,即2x+2y=0,y+z=0.

取y=﹣1,則x=z=1.于是 =(1,﹣1,1).

,所以 .所以

又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.

解法二:連接AC,設(shè)AC∩BD=G.

因為ABCD是正方形,所以G是線段AC的中點.

又E是線段PC的中點,所以,EG是△PAC的中位線.

所以PA∥EG.

又PA平面EDB,EG平面EDB,

所以PA∥平面EDB.


(2)解法一:由(1)中的解法一, ,

設(shè) =(x1,y1,z1)為平面CPB的一個法向量,

,

取y1=1,則z1=1.于是 =(0,1,1).

因為ABCD是正方形,所以AC⊥BD.

因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.

又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB.

所以 是平面PDB的一個法向量.

所以

所以,銳二面角C﹣PB﹣D的大小為60°.

解法二:如圖,設(shè)AC∩BD=G.

在Rt△PDB中,過G作GF⊥PB于F,連接FC.

因為四邊形ABCD是正方形,

所以CA⊥BD,即CG⊥BD.

因為側(cè)棱PD⊥底面ABCD,CG平面ABCD,

所以CG⊥PD.

又CG⊥BD,PD∩BD=D,所以CG⊥平面PDB.

所以CG⊥PB.

又PB⊥GF,CG∩GF=G,所以PB⊥平面CGF.

所以PB⊥FC.從而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一個平面角

在Rt△PDB中,

在Rt△FGC中, .所以∠GFC=60°.

所以二面角C﹣PB﹣D的大小為60°


【解析】(1)解法一:以D為坐標(biāo)原點,分別以 所在的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.求出相關(guān)點的坐標(biāo).法一,推出 .然后證明PA∥平面EDB.法二:取BD的中點G,則G(1,1,0),利用 ,說明PA∥EG.證明PA∥平面EDB.法三:求出平面EDB的一個法向量 ,證明 ,推出PA∥平面EDB.解法二:連接AC,設(shè)AC∩BD=G.證明PA∥EG.然后證明PA∥平面EDB.(2)解法一:由(1)中的解法一,求出平面CPB的一個法向量 ,證明AC⊥BD.PD⊥AC.推出AC⊥平面PDB.求出平面PDB的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解銳二面角C﹣PB﹣D的大。夥ǘ哼^G作GF⊥PB于F,連接FC.說明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一個平面角通過求解三角形即可.

練習(xí)冊系列答案
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產(chǎn)品質(zhì)量/克

頻數(shù)

(490,495]

6

(495,500]

8

(500,505]

14

(505,510]

8

(510,515]

4

甲流水線樣本頻數(shù)分布表:

甲流水線

乙流水線

總計

合格品

不合格品

總計

1根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖

2若以頻率作為概率,試估計從乙流水線任取件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率;

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附表:

(參考公式:

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B.-
C.-
D.-

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