【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長都為，是的中點，在邊上，.

（1）證明：平面平面；

（2）若是側面內的動點，且平面.

①在答題卡中作出點的軌跡，并說明軌跡的形狀（不需要說明理由）；

②求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見解析（2）①詳見解析②

【解析】

（1）要證明面面垂直，需先證明線面垂直，根據(jù)條件可證明以平面；

（2）①要總有平面，即作出過點的平面，使其與平面平行；

②根據(jù)①的面面平行可轉化為，再利用等體積轉化求解.

解：（1）在正三棱柱中，因為平面，平面，

所以

在等邊中，是的中點，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中點，的中點，連接，則點的軌跡就是線段.

②因為平面，所以.……

由（1）得平面，

又因為，

所以.

故三棱錐的體積為.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在中.，過作于延長到，使.沿將折起，將折到點的位置使平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】在平面直角坐標系中，已知定點，點在軸上運動，點在軸上運動，點為坐標平面內的動點，且滿足，.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過曲線第一象限上一點（其中）作切線交直線于點，連結并延長交直線于點，求當面積取最小值時切點的橫坐標.

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【題目】已知圓，過點作的異于軸的切線，過點作的異于軸的切線.設與交于點，記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知，在點處的切線交直線于點，過原點與平行的直線交于點.證明：以為直徑的圓截軸的弦長為定值.

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【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如表：

AQI

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質量指數(shù)x的關系式為，假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）.設該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.該蓄水池的體積最大時______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，E，F分別為的三等分點，，，，，若沿著，折疊使得點A和點B重合，如圖2所示，連結，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點，并證明你的結論；

（3）設函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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