Question

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x³＋x² (f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N^*)

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)．（2）不是，（3）見(jiàn)解析

(1)解　當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝ (x>0)
令f′(x)>0，得x∈(1，＋∞)；
令f′(x)<0，得x∈(0,1)．
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)．
(2)解　∵f′(x)＝ (x>0)，∴f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，g(x)＝x³＋x²－2x，∴g′(x)＝3x²＋(m＋4)x－2，∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2，∴
由題意知：對(duì)于任意的t∈[1,2]，g′t<0恒成立，
所以，∴－<m<－9.
故m的取值范圍是.
(3)證明　由(1)知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)f(x)>f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴0<ln x<x－1對(duì)一切x∈(1，＋∞)成立．
∵n≥2，n∈N^*，則有0<ln n<n－1，∴0<.
∴ (n≥2，n∈N^*)．