Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）設(shè)．①若，則，滿足什么條件時(shí)，曲線與在x＝0處總有相同的切線？②當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（2）若集合為空集，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）ab的最大值為.

【解析】

（1）①中分別利用導(dǎo)數(shù)求出和，在處的切線方程，根據(jù)兩切線重合，即可求出滿足的條件；②中先求出函數(shù)的解析式，然后求出導(dǎo)數(shù)，令，討論根的大小，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由集合為空集，即為無解，令，利用導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）①由題意求得：，

要使曲線與在x＝0處總有相同的切線

則，求得

②，則

當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)，，時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)，，時(shí)，，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，，；當(dāng)b＝0時(shí)，無單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，，．

（2）因?yàn)榧��?/span>為空集，即無解

令，求得

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，顯然有解不符題意

當(dāng)時(shí)，在，lna]單調(diào)遞減，在[lna，單調(diào)遞增

所以時(shí)，符合題意

則，則

令，求得

當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，

∴當(dāng)

∴ab的最大值為.