Question

（本小題滿分1２分）

設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù)，其前項和為，已知對任意，是 和的等比中項．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）證明；

（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對滿足 的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個？

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分

當(dāng)時，，解得．    ……………………………2分

當(dāng)時，有．

于是，即．

于是，即．

因為，所以．

故數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，且．……………………4分

（Ⅱ）因為，則，…………………………………5分

所以…7分

（Ⅲ）由，得，所以．  …… 9分

由題設(shè)，，，…，，，，…，．

因為∈M，所以，，…，均滿足條件．…………………10分

且這些數(shù)組成首項為，公差為的等差數(shù)列．                                                                     

設(shè)這個等差數(shù)列共有項，則，解得．

故集合M中滿足條件的正整數(shù)共有450個．…………………………12分

 

【解析】略