Question

（本小題滿分1２分）
設數列的各項都為正數，其前項和為，已知對任意，是和的等比中項．
（Ⅰ）證明數列為等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）設集合，，且，若存在∈，使對滿足的一切正整數，不等式恒成立，求這樣的正整數共有多少個？

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分
當時，，解得．   ……………………………2分
當時，有．
于是，即．
于是，即．
因為，所以．
故數列是首項為2，公差為2的等差數列，且．……………………4分
（Ⅱ）因為，則，…………………………………5分
所以…7分
（Ⅲ）由，得，所以． …… 9分
由題設，，，…，，，，…，．
因為∈M，所以，，…，均滿足條件．…………………10分
且這些數組成首項為，公差為的等差數列．                                                                     
設這個等差數列共有項，則，解得．
故集合M中滿足條件的正整數共有450個．…………………………12分

解析