Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（Ⅱ）四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)角線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）先設(shè)橢圓方程，再由題意，列方程組求解即可;

（Ⅱ）先設(shè)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，由根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題意表示出，即可求出的關(guān)系式，進(jìn)而由面積公式可求出結(jié)果.

（I）設(shè)橢圓的方程為，則

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ，所以，離心率

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)、位于軸的上方，則直線(xiàn)的斜率存在，

設(shè)的方程為， ， .

聯(lián)立，得 ，

則， . ①

由，得 . ②

由①、②，得. ③

設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為， ，

④

由③、④，得，故四邊形的面積為定值，且定值為.