【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間;
(3)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+x2﹣xlna,
∴f′(x)=axlna+2x﹣lna,
∴f′(0)=0,f(0)=1
即函數(shù)f(x)圖象在點(0,1)處的切線斜率為0,
∴圖象在點(0,f(0))處的切線方程為y=1;
(2)解:由于f'(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna>0
①當a>1,y=2x單調(diào)遞增,lna>0,所以y=(ax﹣1)lna單調(diào)遞增,故y=2x+(ax﹣1)lna單調(diào)遞增,
∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當0<a<1,y=2x單調(diào)遞增,lna<0,所以y=(ax﹣1)lna單調(diào)遞增,故y=2x+(ax﹣1)lna單調(diào)遞增,
∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
綜上,函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間(0,+∞)
(3)解:因為存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,
所以當x∈[﹣1,1]時,|(f(x))max﹣(f(x))min|
=(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1,(
由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上遞減,在[0,1]上遞增,
所以當x∈[﹣1,1]時,(f(x))min=f(0)=1,
(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)},
而f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣( +1+lna)=a﹣ ﹣2lna,
記g(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>0),
因為g′(t)=1+ ﹣ =( ﹣1)2≥0(當t=1時取等號),
所以g(t)=t﹣ ﹣2lnt在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,而g(1)=0,
所以當t>1時,g(t)>0;當0<t<1時,g(t)<0,
也就是當a>1時,f(1)>f(﹣1);
當0<a<1時,f(1)<f(﹣1)
② 當a>1時,由f(1)﹣f(0)≥e﹣1a﹣lna≥e﹣1a≥e,
②當0<a<1時,由f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1 +lna≥e﹣10<a≤ ,
綜上知,所求a的取值范圍為a∈(0, ]∪[e,+∞).
【解析】(1)先求函數(shù)的導函數(shù)f′(x),再求所求切線的斜率即f′(0),由于切點為(0,0),故由點斜式即可得所求切線的方程;(2)先求原函數(shù)的導數(shù)得:f'(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna,再對a進行討論,得到f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(3)f(x)的最大值減去f(x)的最小值大于或等于e﹣1,由單調(diào)性知,f(x)的最大值是f(1)或f(﹣1),最小值f(0)=1,由f(1)﹣f(﹣1)的單調(diào)性,判斷f(1)與f(﹣1)的大小關系,再由f(x)的最大值減去最小值f(0)大于或等于e﹣1求出a的取值范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】如圖,PA⊥平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣B為45°,AD=2,CD=3,求點F到平面PCE的距離.
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【題目】雙十一期間某電商準備矩形促銷市場調(diào)查,該電商決定活動,市場調(diào)查,該電商決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進行促銷活動.
(1)試求選出的3種商品中至多有一種是家電商品的概率;
(2)電商對選出的某商品采用促銷方案是有獎銷售,顧客購買該商品,一共有3次抽獎的機會,若中獎,則每次都活動數(shù)額為40元的獎券,假設顧客每次抽獎時中獎的概率都是 ,且每次中獎互不影響,設一位顧客中獎金額為隨機變量ξ,求ξ的分布列和期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2 sinxcosx+a,且當x∈[0, ]時,f(x)的最小值為2.
(1)求a的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象上的點縱坐標不變,橫坐標縮小到原來的 ,再將所得圖象向右平移 個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間[0, ]上所有根之和.
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【題目】設△AnBnCn的三邊長分別為an , bn , cn , n=1,2,3…,若b1>c1 , b1+c1=2a1 , an+1=an , bn+1= ,cn+1= ,則∠An的最大值是 .
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【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量 =[ ],并且矩陣M對應的變換將點(﹣1,2)變換成(﹣2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個特征值.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的方程為x+y+3=0,以直角坐標系中x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,圓M的極坐標方程為ρ=2sinθ. (Ⅰ)寫出圓M的直角坐標方程及過點P(2,0)且平行于l的直線l1的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設l1與圓M的兩個交點為A,B,求 的值.
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【題目】某品牌的汽車4S店,對最近100例分期付款購車情況進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結果如表所示,已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車.若顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為2萬元;分12期付款,其利潤為3萬元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
頻數(shù) | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中計算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購車的顧客(數(shù)量較大)中隨機抽取3位顧客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人,再從抽出的5人中隨機抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η,求η的分布列及數(shù)學期望E(η).
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