Question

【題目】如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（圖（2））．

（1）求證：AP∥平面EFG；

（2）若點(diǎn)Q是線段PB的中點(diǎn)，求證：PC⊥平面ADQ；

（3）求三棱錐C－EFG的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）由條件可得EF∥CD∥AB，利用直線和平面平行的判定定理證得EF∥平面PAB．同理可證，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可得AP∥平面EFG．（2）由條件可得DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，AD⊥PC．再由EQ平行且等于BC可得EQ平行且等于AD，故ADEQ為梯形．再根據(jù)DE為等腰直角三角形PCD 斜邊上的中線，可得DE⊥PC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得PC⊥平面ADQ．（3）根據(jù)VC-EFG=VG-CEF=S△CEFCG=（EFDF）CG，運(yùn)算求得結(jié)果

試題解析：（1）證明：∵E、F分別是PC，PD的中點(diǎn)，

∴EF∥CD∥AB．

又EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB．

同理，EG∥平面PAB，∴平面EFG∥平面PAB．

又∵AP平面PAB，∴AP∥平面EFG．

（2）解：連接DE，EQ，

∵E、Q分別是PC、PB的中點(diǎn)，∴EQ∥BC∥AD．

∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD．

∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC．

在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)，

∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ．

（3）VC－EFG＝VG－CEF＝S△CEF·GC＝××1=