Question

已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（3）令，若的圖象與軸交于（其中），的中點(diǎn)為，求證：在處的導(dǎo)數(shù)

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）屬于簡(jiǎn)單題，利用函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)值為斜率求解；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸有2個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)來(lái)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判函數(shù)的單調(diào)性滿足即可；（3）利用反證法求解，假設(shè)成立，由條件滿足，利用第1、2個(gè)條件求解值，結(jié)合第4個(gè)條件得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性充分證明假設(shè)錯(cuò)誤，進(jìn)而得證在處的導(dǎo)數(shù).

試題解析：（1）

且

解得                              3分

（2），令

則

令，得舍去).

當(dāng)時(shí)，

是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，

是減函數(shù)；                              5分

于是方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是：.

即                              9分

（3）由題意

假設(shè)結(jié)論成立，則有：

                           11分

①-②，得

由④得

即，即⑤                  13分

令

則

在（0，1）增函數(shù)，

⑤式不成立，與假設(shè)矛盾.

                               14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的最值求解；3.反證法思想.