Question

已知過一個凸多邊形的不相鄰的兩個端點的連線段稱為該凸多邊形的對角線．
（Ⅰ）分別求出凸四邊形，凸五邊形，凸六邊形的對角線的條數(shù)；
（Ⅱ）猜想凸n邊的對角線條數(shù)f（n），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)凸多邊形的對角線的定義，可以求出凸四邊形，凸五邊形，凸六邊形的對角線的條數(shù)；
（Ⅱ）猜想凸n邊的對角線條數(shù)f（n）=

n(n-3)

2

（n∈N₊，n≥3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：第一步驗證n=3是否成立，第二步假設(shè)n=k時，等式成立，第三部在（2）假設(shè)的基礎(chǔ)上，驗證n=k+1時是否成立，從而求證．

解答： 解：（Ⅰ）凸四邊形的對角線的條數(shù)為2條，凸五邊形的對角線的條數(shù)為5條，凸六邊形的對角線的條數(shù)為9條；
（Ⅱ）猜想凸n邊的對角線條數(shù)f（n）=

n(n-3)

2

（n∈N₊，n≥3）
用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=3時，f（x）=

1

2

×3×0=0，凸三邊形沒有對角線，命題成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時命題成立，即凸k邊形的對角線條數(shù)f（k）=

1

2

k（k-3）（k≥3），
當(dāng)n=k+1時，k+1邊形是在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點A _k+1，增加的對角線是頂點A _k+1，與不相鄰頂點連線再加上原k變形的一邊A₁A_k+1，
∴增加的對角線條數(shù)為（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=

1

2

×k（k-3）+k-1=

1

2

（k²-k-2）=

1

2

（k+1）（k-2）=

1

2

×（k+1）[（k+1）-3]
綜上當(dāng)n=k+1時，命題成立，
由（1）（2）可知，對任何n∈N₊，n≥3命題成立．

點評：本題考查歸納猜想，考查利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式，證明時要注意歸納法的三個基本步驟，解題時要充分利用好假設(shè)，歸納法是高考�？嫉姆椒ǎ�