【題目】設函數(shù), 已知曲線y=f(x)
在處的切線與直線垂直。
(1) 求的值;
(2) 若對任意x≥1,都有,求的取值范圍.
【答案】(1) b=1(2) (,--1)∪(-1,1)
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)導數(shù),由兩直線垂直斜率之積為-1,解方程可得
(2)求出導數(shù),對 討論,①若 ,則 ;②若
,則 ;③若 三種情況分別求出單調區(qū)間,可得最小值,解不等式即可得到所求范圍.
試題解析:(1)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2,所以f′(1)=2,又f′(x)=ln x++1,即ln 1+b+1=2,所以b=1.
(2) g(x)的定義域為(0,+∞),
g′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).
①若a≤,則≤1,故當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調遞增. 所以,對任意x≥1,都有g(x) >的充要條件為g(1) >,即-1>,解得a<--1或-1 <a≤
②若<a<1,則>1,故當x∈時,g′(x)<0;當x∈時,g′(x)>0.f(x)在上單調遞減,在上單調遞增.
所以,對任意x≥1,都有g(x) >的充要條件為g>.而g=aln++>在<a<1上恒成立,
所以<a<1
③若a>1,g(x)在[1,+∞)上遞減,不合題意。
綜上,a的取值范圍是(,--1)∪(-1,1)
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形,側面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求證:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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【題目】有4個不同的小球,4個不同的盒子,現(xiàn)要把球全部放進盒子內.
(1)恰有1個盒子不放球,共有多少種方法?
(2)恰有2個盒子不放球,共有多少種方法?
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點.
(1)求證:平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(2)求證:平面AB1E.
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【題目】判斷居民戶是否小康的一個重要指標是居民戶的年收入,某市從轄區(qū)內隨機抽取100個居民戶,對每個居民戶的年收入與年結余的情況進行分析,設第i個居民戶的年收入xi(萬元),年結余yi(萬元),經過數(shù)據(jù)處理的: =400, =100, =900, =2850.
(1)已知家庭的年結余y對年收入x具有線性相關關系,求線性回歸方程;
(2)若該市的居民戶年結余不低于5萬,即稱該居民戶已達小康生活,請預測居民戶達到小康生活的最低年收入應為多少萬元? 附:在y=bx+a中,b= ,a= ,其中 , 為樣本平均值.
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【題目】已知數(shù)列{an+1﹣2an}是公比為2的等比數(shù)列,其中a1=1,a2=4.
(1)證明:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)記Cn= (n≥2),證明: ( )n< +…+ ≤1﹣( )n﹣1 .
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【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ax﹣ 在( ,+∞)是增函數(shù),則a的取值范圍( )
A.(﹣∞,3]
B.(﹣∞,﹣3]
C.[﹣3,+∞)
D.(﹣3,+∞)
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【題目】經研究,城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源浪費,太少又難以滿足乘客需求.為此,某市公交公司從某站占的40名候車乘客中隨機抽取15人,將他們的候車時間(單位: )作為樣本分成5組如下表:
組別 | 侯車時間 | 人數(shù) |
一 | 2 | |
二 | 6 | |
三 | 2 | |
四 | 2 | |
五 | 3 |
(1)估計這40名乘客中侯車時間不少于20分鐘的人數(shù);
(2)若從上表侯車時間不少于10分鐘的7人中選2人作進一步的問卷調查,求抽到的兩人侯車時間都不少于20分鐘的概率.
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