Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的極大值.

（Ⅱ）求證：存在，使；

（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k,b,使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求出k,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）……………………………………（1分）

      令解得

      令解得.……………………………………………………（2分）

      ∴函數(shù)在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ……………（3分）

      所以的極大值為 …………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

      令

      ∴ ………………………………………………（5分）

      取則

 ………………………………（6分）

故存在使即存在使

………………………………………………（7分）

      （說(shuō)明：的取法不唯一，只要滿足且即可）

（Ⅱ）設(shè)

      則

      則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

      當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

      ∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn),

      ∴

      ∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)（）.………（9分）

      設(shè)與存在“分界線”且方程為，

      令函數(shù)

      ①由≥，得在上恒成立，

      即在上恒成立，

      ∴，

      即，

      ∴，故………………………………………（11分）

      ②下面說(shuō)明：，

      即恒成立.

      設(shè)

      則

      ∵當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增，

        當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞減，

      ∴當(dāng)時(shí)，取得最大值0，.

      ∴成立.………………………………………（13分）

      綜合①②知且

      故函數(shù)與存在“分界線”，

      此時(shí)…………………………………………………（14分）