已知橢圓＝1(a＞b＞0)的一個頂點的坐標為A(0，－1)，且右焦點F到直線x－y＋＝0的距離為3．

(Ⅰ)求該橢圓的方程；

(Ⅱ)是否存在斜率不為0的直線l，使其與已知橢圓交于M、N兩點，滿足AM⊥AN，且|AM|＝|AN|．

(Ⅲ)若斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點，使得|AM|＝|AN|，求k的取值范圍．

答案：
解析：

(Ⅰ)由已知b＝1．

又橢圓右焦點F(c，0)到直線x－y＋＝0的距離為

＝3．

∴c＝．

可得＝3．

故橢圓的方程為＝1．

(Ⅱ)不存在．

若存在直線l∶y＝kx＋m(k≠0)滿足條件，則建立方程組

消去y，得()＋6kmx＋3()＝0．…………①

判別式 △＝－4(＋1)×3(－1)＞0．

即 0．……………②

設 M()、N()，MN的中點為B，

由方程①及韋達定理，有

由直線l的方程，得

∴MN中點B的坐標為()．

又由|AM|＝|AN|，有AB⊥MN，

∴

化簡后得 m＝．

于是中點B的坐標為()．

不等式②可化為 (－12)×＞0，

即 9(＋1)(1－)＞0．

解得 －1＜k＜1．(k≠0)

若AM⊥AN，則|AB|＝|MN|．

，

又

∴

由＝＝，

即 ＝1．

＝0，與題設k≠0矛盾．

故 滿足條件的直線l不存在．

(Ⅲ)設直線l的方程為y＝kx＋m，

建立方程組

消去y，得＝0，①

判別式 △＝＞0，

即 ＞0，②

設 ，MN的中點為B，

由方程①及韋達定理，有

代入直線l的方程，得，

∴MN中點B的坐標為()．

又由|AM|＝|AN|，有 AB⊥MN，

∴．

化簡后得 m＝，

不等式②可化為 (－12)×＞0，

即 ＞0，

解得 －1＜k＜1．

故 直線l的斜率k的取值范圍為(－1，1)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：013

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線＝1的離心率為

[　　]

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學理科(四川卷) 題型：044

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，右準線方程為x＝2．

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)過點F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點，且，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(1，)，離心率為，左、右焦點分別為F1、F2.點P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．

(1)求橢圓的標準方程．

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

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