Question

已知正項等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₃，a₇+2，3a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設{a_n}的前n項和為Sn，f(n)=

Sn	(n+18)Sn+1

，試問當n為何值時，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用a₃，a₇+2，3a₉成等比數(shù)列，求出數(shù)列的公差，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

，化簡表達式，利用基本不等式去，求解f（n）最大值，并求出f（n）的最大值．

解答：解：（1）設公差為d，則a₃=1+2d，a₇=1+6d，a₉=1+8d…（2分）
∵a₃，a₇+2，3a₉成等比數(shù)列，∴（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d）…（3分）
∴2d²-d-1=0，
∵d＞0，∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）•1=n．…（6分）
（2）∵an=n，Sn=

n(1+n)

2

，∴

Sn

Sn+1

=

n

n+2

．…（8分）
∴f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

=

n

(n+18)(n+2)

=

n

n2+20n+36

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

12+20

=

1

32

…（12分）
當且僅當n=

36

n

，即n=6時，f（n）取得最大值

1

32

．…（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，注意數(shù)列的通項公式與前n項和的應用，考查數(shù)列的函數(shù)特征，考查計算能力．