已知非零向量
OA
、
OB
OC
、
OD
滿(mǎn)足:
OA
OB
OC
OD
(α,β,γ∈R)
,B、C、D為不共線(xiàn)三點(diǎn),給出下列命題:
①若α=
3
2
,β=
1
2
,γ=-1
,則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上;
②當(dāng)α>0,β>0,γ=
2
時(shí),若|
OA
|=
3
,|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1
OB
,
OC
>=
6
,
OD
,
OB
>=<
OD
,
OC
>=
π
2
,則α+β的最大值為
6
-
2

③已知正項(xiàng)等差數(shù)列an(n∈N*),若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),但O點(diǎn)不在直線(xiàn)BC上,則
1
a3
+
4
a2008
的最小值為9;
④若α+β=1(αβ≠0),γ=0,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)且A分
BC
所成的比λ一定為
α
β

其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是
 
分析:①根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件若
OA
OB
OC
OD
(α,β,γ∈R)
且α+β+γ=1,則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上;可知①正確;②把
OA
OB
OC
OD
兩邊平方,化成3=α2+β2+2-
3
αβ
,即=(α+β)2-(2+
3
)αβ+2,利用基本不等式即可求得α+β的最大值為4+2
3
,,故可知②錯(cuò);③根據(jù)α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),可得a2+a2009=1,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3+a2008=1,利用基本不等式即可求得結(jié)果;④根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件可知
OA
OB
OC
且α+β=1,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),而A分
BC
所成的比λ一定為
α
β
錯(cuò),如點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BA=
4
3
,λ=-3,而此時(shí)的
α
β
=-
1
4
,因此錯(cuò).
解答:解:①若α+β+γ=1,則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上;①正確;
OA
OB
OC
+
2
OD
,兩邊平方得,3=α2+β2+2-
3
αβ

=(α+β)2-(2+
3
)αβ+2≥(α+β)2-(2+
3
(α+β)2
4
+2,
∴α+β≤4+2
3
,當(dāng)且僅當(dāng)α=β=2+
3
時(shí)等號(hào)成立,故②錯(cuò);
③若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),
∴a2+a2009=1,∴a3+a2008=1,則
1
a3
+
4
a2008
=(
1
a3
+
4
a2008
)(a3+a2008)≥5+4=9.③對(duì).
④若α+β=1(αβ≠0),γ=0,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),
若點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BA=
4
3
,λ=-3,
OA
=
OB
+
BA
=
OB
+
4
3
BC

=
OB
+
4
3
(
OC
-
OB
)=- 
1
3
OB
 +
4
3
OC

α=-
1
3
,β=
4
3
,∴
α
β
=-
1
4
,
故④錯(cuò)
故答案為①③.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題,綜合題.考查共面向量和共線(xiàn)向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題,必須給出證明,要說(shuō)明其是假命題,只要舉出反例即可,同時(shí)考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知非零向量
OA
OB
OC
滿(mǎn)足:
OA
=a
OB
+β
OC
(a,β∈R),給出下列命題:
①若a=
3
2
,β=-
1
2
,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn);
②若a>0,β>0,|
OA
|=
3
,|
OB
|=|
OC
|=1,<
OB
OC
>=
3
,<
OA
,
OB
>=
π
2
則a+β=3;
③已知等差數(shù)列{an}中,an>an+1>0(n∈N*),a2=a,a2009=β若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),但O點(diǎn) 不在直線(xiàn)BC上,則
1
a3
+
4
a2008
的最小值為9;
④若β≠0,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),則A分
BC
所在的比λ一定為
a
β

其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是
①②③④
①②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•宿州三模)在數(shù)列{an}中,已知an+1+an-1=2an(n∈N+,n≥2),若平面上的三個(gè)不共線(xiàn)的非零向量
OA
、
OB
OC
,滿(mǎn)足
OC
=a1005
OA
+a1006
OB
,三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn),且直線(xiàn)不過(guò)O點(diǎn),則S2010等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•成都一模)已知非零向量
OA
、
OB
OC
、
OD
滿(mǎn)足:
OA
OB
Z+β
OC
Z+γ
OD
Z(α,β,γ∈R),B、C、D為不共線(xiàn)三點(diǎn),給出下列命題:
①若α=
3
2
,β=
1
2
,γ=-1,則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上;
②若α=β=γ=1,|
OB
Z|+|
OC
|+|
OD
|=1,<
OB
OD
>=<
OC
OD
>=
π
2
,<
OB
OC
>=
π
3
,則|
OA
|=2;
③已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}(n∈N*Z),若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),但O點(diǎn)不在直線(xiàn)BC上,則
1
a3
+
4
a2008
的最小值為10;
④若α=
4
3
,β=-
1
3
Z,γ=0,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)且A分
BC
所成的比λ一定為-4
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是
①②
①②

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A,B是拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),非零向量
OA
 
OB
滿(mǎn)足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|

(Ⅰ)求證:直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
(Ⅱ)當(dāng)AB的中點(diǎn)到直線(xiàn)y-2x=0的距離的最小值為
2
5
5
時(shí),求p的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案