Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)列，定義它的第項(xiàng)為,假設(shè)是首項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）若，，.
①求實(shí)數(shù)列的通項(xiàng)；
②證明：.

Answer 1

（1）；（2）①；②詳見解析.

試題分析：本題以新定義的模式考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和以及不等式的放縮法．（1）由是首項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列，故實(shí)數(shù)列確定，即，再結(jié)合的定義，得，然后求和即可（需分類討論）；（2）由，.，可確定，利用累加法可求；和式可看作數(shù)列的前n項(xiàng)和，故先求其通項(xiàng)公式，得，因前n項(xiàng)和不易直接求出，故可考慮放縮法，首先看不等式右邊，可想到證明每項(xiàng)都小于，由，進(jìn)而可證明右面不等式，再考慮不等式左邊，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043409584589.png" style="vertical-align:middle;" />，故，進(jìn)而求和可證明．
試題解析：（1）令這里
是公比為的等比數(shù)列.
，
當(dāng)時(shí)，，，.   2分
當(dāng)時(shí)，是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列；.
.   4分
綜上.   6分
（2）①由題設(shè)，，
疊加可得（）.   8分
②
.   10分
又
，，
即，，
.   12分

即.   13分