Question

設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：

（1）≥a+b+c；

（2）a+b+c≤；

（3）aⁿ(a²-bc)+bⁿ(b²-ac)+cⁿ(c²-ab)≥0（n是任意正數(shù)）.

Answer 1

思路分析：證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過(guò)程中，常可“由因?qū)Ч�”或“�?zhí)果索因”.前者我們稱(chēng)之為綜合法,后者稱(chēng)為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用策略，分析問(wèn)題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個(gè)不等式時(shí)，可能交替使用多種方法.

證明：由題設(shè)不妨設(shè)a≥b≥c＞0.

（1）由不等式的單調(diào)性知ab≥ac≥bc，≥≥，由排序原理：

ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×，即所證不等式成立.

（2）由不等式單調(diào)性知a²≥b²≥c²，ab≥ac≥bc，又由排序原理：

a²bc+ab²c+abc²≤a³c+b³a+c³b.

又由不等式單調(diào)性知a³≥b³≥c³，且a≥b≥c，再由排序原理：

a³c+b³a+c³b≤a⁴+b⁴+c⁴.

由上述兩式及不等式的傳遞性可得a²bc+ab²c+abc²≤a⁴+b⁴+c⁴.兩邊同除以abc可得，需證不等式成立.

（3）只需證aⁿ⁺²+bⁿ⁺²+cⁿ⁺²≥aⁿbc+bⁿca+cⁿab.①

由不等式的單調(diào)性知aⁿ⁺¹≥bⁿ⁺¹≥cⁿ⁺¹，又a≥b≥c.由排序原理得

aⁿ⁺²+bⁿ⁺²+cⁿ⁺²≥aⁿ⁺¹b+b^n+1c+cn+1a.

又由不等式的單調(diào)性知ab≥ac≥bc，aⁿ≥bⁿ≥cⁿ.由排序原理得

aⁿ⁺¹b+b^{n+1c+cn+1a≥an}bc+bⁿca+cⁿab.

根據(jù)不等式的傳遞性可知①成立.