Question

【題目】對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，其中k為整數(shù)，則稱函數(shù)為定義域上的“k階局部奇函數(shù)”.

（1）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“2階局部奇函數(shù)”？并說明理由；

（2）若是上的“1階局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若，對任意的實數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，求整數(shù)k取值的集合.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，為上的“2階局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；

（2）由“1階局部奇函數(shù)”的定義，列出方程，討論方程成立并有解時參數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)“k階局部奇函數(shù)”的定義，轉(zhuǎn)化對任意的實數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，為對任意的實數(shù)恒成立問題，討論二次項系數(shù)是否為零，不為零時討論恒成立，再令，求解，即可.

（1）為上的“2階局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程在上有解，即：，

化簡得：，

解得：

所以是上的“2階局部奇函數(shù)”.

（2）由是上的“1階局部奇函數(shù)”，

且要滿足，所以.

因為是上的“1階局部奇函數(shù)”，等價于關(guān)于x的方程

在有解，即，化簡得：，

所以，

又，所以.

（3）因為恒為R上的“k階局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程恒有解.

即，化簡得：，

當時，解得，所以滿足題意；

當時，，即：對任意的實數(shù)恒成立，

即對任意的實數(shù)恒成立，

令，是關(guān)于t的一次函數(shù)且為上的增函數(shù)

則，即：，解得：且

綜上，整數(shù)k取值的集合.