Question

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？最大面積等于多少？

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為.

試題分析：1.由于題目較長(zhǎng)，一些考生不能識(shí)別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問(wèn)，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關(guān)于、的不等式……   ①.由根與系數(shù)的關(guān)系、，在橢圓上，可以得到關(guān)于、、的等式……      ②．把等式②代入①，可以達(dá)到消元的目的，但問(wèn)題是這里一共有三個(gè)變量，就是消了，那還有關(guān)于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會(huì)成為難點(diǎn).事實(shí)上，在把等式②代入①的過(guò)程中，和一起被消掉，得到了關(guān)于的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）問(wèn)要把的面積函數(shù)先求出來(lái).用弦長(zhǎng)公式求底，用點(diǎn)到直線的距離公式求高，得到的面積，函數(shù)中有兩個(gè)自變量和，如何求函數(shù)的最大值呢？這又成為難點(diǎn).這里很難想到把②代入面積函數(shù)中，因?yàn)棰谥泻�有三個(gè)變量，即使代入消掉一個(gè)后，面積函數(shù)依然有兩個(gè)自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實(shí)上，也自動(dòng)地消除了，于是得到了面積和自變量的函數(shù)關(guān)系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.
試題解析：:（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得
 解方程組得
∴橢圓的方程為．
由，得．
根據(jù)已知得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
∴，
化簡(jiǎn)得：．
設(shè)、，則
．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，滿(mǎn)足題意；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，.
由，得 即 
∵在橢圓上，∴，
化簡(jiǎn)得：．
∵，∴．
∵，
∴，即且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，、、三點(diǎn)在一條直線上，不構(gòu)成.
∴為使的面積最大，.
∵
∴.
∵原點(diǎn)到直線的距離，
∴的面積．
∵，，
∴.
∴．
∵，
∴．
“” 成立，即．
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為