Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若對任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，則a的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由=﹣2ax2+2x，令=0，得，根據(jù)對任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，分， ，

三種情況討論f（x1），f（x2）的值域即可.

因為=﹣2ax2+2x，

令=0得，

①：當(dāng)，即a≥1時，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）遞減，

∵，，

若對任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，

所以f（x1）的值域為（），f（x2）的值域為（），

由f（x1）f（x2）=1得：.

顯然，當(dāng)f（x1）→﹣∞時，→0（負(fù)數(shù)），故要滿足結(jié)論，首先需滿足：

，，解得.

所以.

②當(dāng)，即時，f（x1）在（2，+∞）上遞減，故此時f（x1），

f（x2）在（1，）遞增，在遞減，故0.

此時只需即可，解得.

③當(dāng)，即時，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正實數(shù)，

而，故此時不滿足題意.

綜上，a的取值范圍是[].

故答案為：