【題目】已知函數(shù)f(x)=px﹣ ﹣2lnx.
(Ⅰ)若p=2,求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)= (e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0 , 使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

【答案】解:(I)當(dāng)p=2時(shí),函數(shù)f(x)=2x﹣ ﹣2lnx,f(1)=2﹣2﹣2ln1=0,

f′(x)=2+ ,

曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f'(1)=2+2﹣2=2.

從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y﹣0=2(x﹣1)

即y=2x﹣2.

(II)f′(x)=p+ = ,

令h(x)=px2﹣2x+p,

要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),

只需h(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,

由題意p>0,h(x)=px2﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線,

對(duì)稱軸方程為x= ∈(0,+∞),

∴h(x)min=p﹣ ,只需p﹣ ≥0,

即p≥1時(shí),h(x)≥0,f'(x)≥0

∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1,+∞).

(III)∵g(x)= 在[1,e]上是減函數(shù),

∴x=e時(shí),g(x)min=2;x=1時(shí),g(x)max=2e,

即g(x)∈[2,2e],

當(dāng)p<0時(shí),h(x)=px2﹣2x+p,其圖象為開口向下的拋物線,

對(duì)稱軸x= 在y軸的左側(cè),且h(0)<0,

所以f(x)在x∈[1,e]內(nèi)是減函數(shù).

當(dāng)p=0時(shí),h(x)=﹣2x,因?yàn)閤∈[1,e],所以h(x)<0,

f′(x)=﹣ <0,此時(shí),f(x)在x∈[1,e]內(nèi)是減函數(shù).

∴當(dāng)p≤0時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減f(x)max=f(1)=0<2,不合題意;

當(dāng)0<p<1時(shí),由x∈[1,e]x﹣ ≥0,所以f(x)=p(x﹣ )﹣2lnx≤x﹣ ﹣2lnx.

又由(2)知當(dāng)p=1時(shí),f(x)在[1,e]上是增函數(shù),

∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2<2,不合題意;

當(dāng)p≥1時(shí),由(2)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),

f(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是減函數(shù),

故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],

而f(x)max=f(e)=p(e﹣ )﹣2lne,g(x)min=2,

即p(e﹣ )﹣2lne>2,解得p>

綜上所述,實(shí)數(shù)p的取值范圍是( ,+∞)


【解析】(I)求出函數(shù)在x=1處的值,求出導(dǎo)函數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值即切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線的方程.(II)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立,構(gòu)造函數(shù),求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸,求出二次函數(shù)的最小值,令最小值大于等于0,求出p的范圍.(III)通過(guò)g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的最小值,通過(guò)對(duì)p的討論,求出f(x)的最大值,令最大值大于等于g(x)的最小值求出p的范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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