【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=2﹣an , n∈N* , 設(shè)函數(shù)f(x)=log x,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=f(an),記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n . (Ⅰ)求an及Tn;
(Ⅱ)記cn=anbn , 求cn的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由Sn=2﹣an , 得a1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣an=(2﹣an﹣1)=an﹣1﹣an ,
∴ ,
則數(shù)列{an}是公比q= ,首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列,
∴ ,
∴bn=f(an)=n﹣1,
則 ;
(Ⅱ)cn=anbn=(n=1) ,
由cn+1﹣cn= .
當(dāng)n=1時(shí),c2>c1;
當(dāng)n=2時(shí),c3=c2;
當(dāng)n≥3時(shí),cn+1>cn .
∴
【解析】(Ⅰ)由已知數(shù)列遞推式求得首項(xiàng),進(jìn)一步得到數(shù)列{an}是公比q= ,首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,代入bn=f(an),得{bn}為等差數(shù)列,則{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n可求;(Ⅱ)把a(bǔ)n , bn代入cn=anbn , 由作差法可得單調(diào)性,利用單調(diào)性求得cn的最大值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某班50人進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn),其得分如下:
48,64,52,86,71,48,64,41,86,79,71,68,82,84,68,64,62,68,81,57,90,52,74,73,56,78,47,66,55,64,56,88,69,40,73,97,68,56,67,59,70,52,79,44,55,69,62,58,32,58.
(1)這次測(cè)試成績(jī)的最大值和最小值各是多少?
(2)將[30,100)平分成7個(gè)小區(qū)間,試畫(huà)出該班學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻數(shù)分布圖.
(3)分析這個(gè)頻數(shù)分布圖,你能得出什么結(jié)論?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=px﹣ ﹣2lnx.
(Ⅰ)若p=2,求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)= (e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0 , 使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+2kx﹣4,若對(duì)任意x∈R,f(x)﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線及點(diǎn).
(1)證明直線過(guò)某定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2,且離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q. (Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量 與 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0),A1 , A2是實(shí)軸頂點(diǎn),F(xiàn)是右焦點(diǎn),B(0,b)是虛軸端點(diǎn),若在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)p1(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)構(gòu)成以A1A2為斜邊的直角三角形,則雙曲線離心率e的取值范圍是( )
A.( ,+∞)
B.( ,+∞)
C.(1, )
D.( , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , |F1F2|=4,P是雙曲線右支上的一點(diǎn),F(xiàn)2P與y軸交于點(diǎn)A,△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點(diǎn)為Q,若|PQ|=1,則雙曲線的離心率是( )
A.3
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 ,B(0,2),C(1,0),斜率為 的直線l過(guò)點(diǎn)A,且l和以C為圓心的圓相切.
(1)求圓C的方程;
(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P,使得 ,若存在,求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由;
(3)若不過(guò)C的直線m與圓C交于M,N兩點(diǎn),且滿(mǎn)足CM,MN,CN的斜率依次為等比數(shù)列,求直線m的斜率.
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