Question

已知拋物線C：y²=2px，點P（-1，0）是其準線與x軸的焦點，過P的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（1）當線段AB的中點在直線x=7上時，求直線l的方程；
（2）設F為拋物線C的焦點，當A為線段PB中點時，求△FAB的面積．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的方程，再將其與直線方程聯立，利用線段AB的中點在直線x=7上，從而求出直線l的方程；
（2）利用點B在拋物線上及A為線段PB中點，求出點B的坐標，進而求出△FAB的面積．

解答：解：（1）因為拋物線的準線為x=-1，所以p=2，拋物線方程為y²=4x（2分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為y=k（x+1），（依題意k存在，且k≠0）與拋物線方程聯立，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（*）x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=（14分）
所以AB中點的橫坐標為

2-k2

k

，即

2-k2

k2

=7所以k2=

1

4

（6分）
（此時（*）式判別式大于零）
所以直線l的方程為y=±

1

2

(x+1)（7分）
（2）因為A為線段PB中點，所以

x2-1

2

=x1，

y2

2

=y1（8分）
由A、B為拋物線上點，得(

y2

2

)2=4×

x2-1

2

，y₂²=4x₂（10分）
解得x₂=2，y2=±2

2

（11分）
當y2=2

2

時，y1=

2

；當y2=-2

2

時，y1=-

2

（12分）
所以△FAB的面積S△FAB=S△PFB-S△PFA=

1

2

|PF|•|y2-y|=

2

（14分）

點評：直線與圓錐曲線相交問題，既可從數的角度，也可從形的角度加以探究，應注意分類討論和數形結合的思想方法的運用．