Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由題意知：|AQ|=|AF，再依據(jù)A為PF的中點(diǎn)且點(diǎn)A在拋物線上，求得p值，從而得出拋物線方程；
（2）設(shè)A（x，y），y²=2px，根據(jù)題意：∠MAF為銳角根據(jù)向量的數(shù)量積得出：x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

＞0對(duì)x≥0都成立
令f(x)=x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

=(x+

3p

4

-

m

2

)2+

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0對(duì)x≥0都成立，下面分類討論：（i）若

m

2

-

3p

4

≥0，（ii）若

m

2

-

3p

4

＜0，求得m的取值范圍即可．

解答：解：（1）由題意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°，
∴A為PF的中點(diǎn)，∵F(

p

2

，0)，  ∴ A(

p

4

，2)，
且點(diǎn)A在拋物線上，代入得2=2p•

p

4

?p=2

2

所以拋物線方程為y2=4

2

x．（5分）
（2）設(shè)A（x，y），y²=2px，
根據(jù)題意：∠MAF為銳角?

AM

•

AF

＞0且m≠

p

2

AM

=(m-x，-y)， 

AF

=(

p

2

-x，-y)，

AM

•

AF

＞0?(x-m)(x-

p

2

)+y2＞0?x2-(

p

2

+m)x+

pm

2

+y2＞0
∵y²=2px，所以得x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

＞0對(duì)x≥0都成立
令f(x)=x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

=(x+

3p

4

-

m

2

)2+

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0
對(duì)x≥0都成立（9分）
（i）若

m

2

-

3p

4

≥0，即m≥

3p

2

時(shí)，只要使

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0成立，
整理得：4m2-20mp+9p2＜0?

p

2

＜m＜

9p

2

，且m≥

3p

2

，
所以

3p

2

≤m＜

9p

2

．（11分）
（ii）若

m

2

-

3p

4

＜0，即m＜

3p

2

，只要使

mp

2

＞0成立，得m＞0
所以0＜m＜

3p

2

（13分）
由（i）（ii）得m的取值范圍是0＜m＜

9p

2

且m≠

p

2

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，同時(shí)考查了向量的數(shù)量積，考查了計(jì)算能力．