Question

已知動點(diǎn)P與雙曲線的兩個焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為6．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）•，求△PF₁F₂的面積；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲線C上，且，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)動點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值6且6＞2，可得動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓；再求出對應(yīng)的a，b，c即可找到動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入•，得到關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的一個方程；再結(jié)合點(diǎn)P的軌跡C的方程可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值；最后代入三角形的面積計算公式即可；
（3）設(shè)出直線MN的方程以及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與曲線C的對應(yīng)方程，根據(jù)兩者有公共點(diǎn)，可以求出k的取值范圍以及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與k的關(guān)系；再結(jié)合，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與λ的之間的關(guān)系；最后通過消去M，N的坐標(biāo)來求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）由雙曲線的兩個焦點(diǎn)：F₁、F₂．
可知F₁（-√5，0），F(xiàn)₂（√5，0）
∵動點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值6且6＞2
∴動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓
∴c=，a=3，b²=a²-c²=4．
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程：．
（2）設(shè)P（x，y），則=（，-y）；=（-x，-y）；
∴=x²-5+y²=3．
∵點(diǎn)P的軌跡C的方程：．
∴⇒y²=⇒．
∴S_△=|F₁F₂|•|y|=×2×=2．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線MN的方程為y=kx+3代入  消去x整理得
：（4+9k²）x²+54kx+45=0
∵△=54×54k²-4×45（4+9k²）≥0
∴k²≥…①
∴x₁+x₂=…②，
x₁•x₂=…③
∵，
∴x₁=λx₂…④
由②③④并消去x₁與x₂…并整理得：=
再由①可得4≤＜
解得≤t≤5
當(dāng)k不存在時此時MN為短軸容易得t=或5
綜上可知λ取值范圍為[，5]
點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，一般是以壓軸題的形式出現(xiàn)．