設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、,點在橢圓上且異于兩點,為坐標(biāo)原點.
(1)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(2)對于由(1)得到的橢圓,過點的直線軸于點,交軸于點,若,求直線的斜率.
(1) .
(2) 的斜率.
試題分析:(1)先求出A,B的坐標(biāo),然后利用的斜率之積為,建立關(guān)于a的方程,從而求出a值,進(jìn)一步可求出橢圓的離心率.
(2)設(shè)直線 的斜率為 , 直線的方程為,則有,
設(shè),由于三點共線,且,
再把此條件坐標(biāo)可知,從而得到,
再利用點P在橢圓上,可建立關(guān)于k的方程求出k的值.
解:(1) 由已知,設(shè).             …………1分
則直線的斜率,
直線的斜率.
,得.                           …………2分
    …………3分
,得,                                       …………4分
.                                             …………5分
橢圓的離心率.                                       …………6分
(2) 由題意知直線的斜率存在.                                 …………7分
設(shè)直線 的斜率為 , 直線的方程為                …………8分
則有,
設(shè),由于三點共線,且
根據(jù)題意,得    …………9分
解得            …………11分
又點在橢圓上,又由(1)知橢圓的方程為
所以…………①
 …………②
由①解得,即,
此時點與橢圓左端點重合, 舍去;           …………12分
由②解得,即                            …………13分
直線直線的斜率.                             …………14分
點評:兩點的斜率公式;另外解本小題的關(guān)鍵是條件的使用,實際上此條件是用k表示出點P的坐標(biāo),再根據(jù)點P在橢圓上,建立關(guān)于k的方程求出k值.
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